一种多资产恒定函数做市商模型 (2) – 技术文档 – ChainNode 链节点

2021年8月12日

一种多资产恒定函数做市商模型 (2) – 技术文档 – ChainNode 链节点
一种多资产恒定函数做市商模型 (2)三、套利

单边套利设第i和j种资产为待套利资产,第i种资产的价格为,第j种资产的价格为。这里不妨设。下面考虑如何进行套利。设卖出第i种资产b个兑换第j种资产,交易完成后恰好使套利空间消失。由前面内容可知,兑换得到第j种资产的数量为。兑换结束后,第i个子资产池有虚ETF币个及第i种资产个,第j个子资产池有虚ETF币个及第j种资产个。根据套利空间消失的条件,得整理得∴套利者的最佳策略是卖出第i种资产个,兑换得到第j种资产个,平均兑换价格为每1个第i种资产兑换个第j种资产。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为T,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,第j个子资产池中有虚ETF币个及第j种资产个。

多边套利设第种资产为待套利资产,第种资产的价格为,j=1,2,…,s 。因为这里ETF币及虚ETF币数量没有增减,所以我们可以仅以恒定乘积做市商的法则来看待这个问题,不需要作虚ETF币数量的调整。下面考虑如何进行套利。设同时批量卖出或买入第种资产个(正数为卖出,负数为买入),兑换虚ETF币,交易完成后恰好使套利空间消失。相应兑换得虚ETF币个(正数为买入,负数为卖出),第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个。根据ETF币及虚ETF币总量没有增减的条件,得??????①根据套利空间消失的条件,得??????②由②式得,代入①式得,代入②式得,∴套利者的最佳策略是同时批量卖出或买入第种资产个(正数为卖出,负数为买入)。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为T,第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个。

ETF币的单边套利与前两节不同,当ETF币参与套利交易时,就会涉及到虚ETF币数量的调整。设第i种资产和ETF币为待套利资产,第j种资产的价格为,j=1,2,…,n 。显然,ETF币的估价应为。所以,第i种资产的估价为。当第i种资产的估价与不相等时,就存在套利空间。设卖出或买入ETF币a个(正数为卖出,负数为买入),兑换第i种资产,交易完成后恰好使套利空间消失。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为T-a,兑换得到第i种资产个,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,其它第k(k≠i)个子资产池中有虚ETF币个。此时,ETF币的估价为根据套利空间消失的条件,得整理得解得∴套利者的最佳策略是卖出或买入ETF币个(正数为卖出,负数为买入),兑换第i种资产个(正数为买入,负数为卖出)。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,其它第k(k≠i)个子资产池中有虚ETF币个。

ETF币的多边套利设第种资产和ETF币为待套利资产,第k种资产的价格为,j=1,2,…,s,k=1,2,…,n 。第种资产的估价为。当第种资产的估价与不相等时,就存在套利空间。设卖出或买入ETF币个(正数为卖出,负数为买入),兑换第种资产,交易完成后恰好使套利空间消失。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为T-a,兑换得到第种资产个,第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个,其它第k()个子资产池中有虚ETF币个。此时,ETF币的估价为。根据套利空间消失的条件,得整理得??????①??????②代入②式得??????③代入①式得解得代入③式得∴套利者的最佳策略是同时批量卖出或买入ETF币个(正数为卖出,负数为买入),兑换第种资产个(正数为买入,负数为卖出)。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为,第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个,其它第k()个子资产池中有虚ETF币个。

四、流动性代币与手续费

上文所述为无手续费模式下的情形,现实中自动做市商模式通常会发行流动性代币来吸引投资者为资产池提供流动性,并通过收取手续费使流动性代币增值。下面讨论有手续费的情形。我们为流动性代币增设一个ETF币池,流动性代币的价值由ETF币池中的ETF币背书。收费模式应该是这样:首先,按照无手续费模式完成交易;然后,如果交易得到的是ETF币,则扣除一定比例的ETF币投入到ETF币池中;如果交易得到的是其它资产,同样扣除一定比例的其它资产,将这些资产在无手续费模式下同时批量卖出兑换ETF币,将兑换得到的ETF币投入到ETF币池中。设手续费率为λ,令μ=1-λ。设ETF币池中有U个ETF币,发行的流动性代币有V个。下面分情况讨论:

卖出流动性代币b个,兑换ETF币。兑换后,兑换得到ETF币个,ETF币及虚ETF币的总量为T,ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V-b,每1个流动性代币的价值为个ETF币。

卖出ETF币a个,兑换流动性代币。兑换后,兑换得到流动性代币个,ETF币及虚ETF币的总量为T,ETF币池内有U+a个ETF币,流动性代币总量为(作为特例,流动性代币的手续费被直接销毁),每1个流动性代币的价值为个ETF币。

同时批量卖出数量为的第种资产,兑换ETF币,j=1,2,…,s 。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为,兑换得到ETF币个,第个子资产池有虚ETF币个及第种资产个,其它第t()个子资产池有虚ETF币个,ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V,每1个流动性代币的价值为个ETF币。作为特例:卖出数量为b的第i种资产,兑换ETF币。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为,兑换得到ETF币个,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,其它第k(k≠i)个子资产池中有虚ETF币个,ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V,每1个流动性代币的价值为个ETF币。

卖出数量为b的第i种资产,兑换第j种资产。这一过程可分为两步:(1). 兑换后,数量为b的第i种资产兑换为第j种资产个,ETF币及虚ETF币的总量为T,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,第j个子资产池中有虚ETF币个及第j种资产个,兑换出的第j种资产按比例λ被收取手续费;(2). 出售手续费第j种资产个,兑换出ETF币个,投入ETF币池。此时ETF币及虚ETF币的总量为,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,第j个子资产池中有虚ETF币个及第j种资产个,其它第k(k≠i,j)个子资产池中有虚ETF币个。这里。兑换后,ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V,每1个流动性代币的价值为个ETF币。

同时批量卖出数量为的ETF币,兑换相应的第种资产,j=1,2,…,s 。令。这一过程可分为两步:(1). 兑换后,数量为的ETF币兑换为第种资产个,ETF币及虚ETF币的总量为T-a,第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个,其它第k()个子资产池中有虚ETF币个,兑换出的第种资产按比例λ被收取手续费;(2). 同时批量出售手续费第种资产,兑换出ETF币个,投入ETF币池。此时ETF币及虚ETF币的总量为,第个子资产池中有虚ETF币个及第种资产个,其它第k()个子资产池有虚ETF币个。这里。兑换后ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V,每1个流动性代币的价值为个ETF币。作为特例:卖出数量为a的ETF币,兑换第i种资产。兑换后,ETF币及虚ETF币的总量为,兑换得到第i种资产个,第i个子资产池中有虚ETF币个及第i种资产个,其它第k(k≠i)个子资产池有虚ETF币个,ETF币池内有个ETF币,流动性代币总量为V,每1个流动性代币的价值为个ETF币。这里

五、主板与创业板

Uniswap 对上币是无限制的。这一点无法照搬到这个方案中,因为大量的垃圾资产会严重损害ETF币的价值。这就意味着我们不得不对ETF币的构成作一定程度的审查。然而,过度审查会导致腐败和市场扭曲,并最终损害创新,如A股。我们有没有折衷的方案呢?一个很自然的想法就是对市场作分级,区分为主板和创业板。主板包含成熟的主流资产,须由一个委员会审查方能上市。主板的资产由上文所述的方案构造资产池,并由这些资产生成ETF币。创业板包含欠成熟的非主流资产,可自由上市,不需任何审查。创业板中的每一种资产均与ETF币(注意,不是虚ETF币)构造资产池,并按照恒定乘积做市商的规则运作。创业板中的资产池同样需要吸引投资者提供流动性。与主板不同,创业板中的每一个资产池都发行一个流动性代币,流动性代币与手续费的规则与Uniswap相同。在主板上市的资产同样需要管理。当创业板中的某种资产表现优秀时,可经委员会审批转到主板上市。同样的,当主板中的某种资产表现糟糕时,可经委员会审批转到创业板上市。下面讨论资产的转板问题。

创业板转主板设待转板资产的资产池中有ETF币a个及待转板资产b个,相应的流动性代币L个。转板后,原资产池中的a个ETF币被替换为a个虚ETF币,原来的a个ETF币被投入ETF币池,然后增发相应的主板流动性代币用于替代原创业板流动性代币。假设原创业板的资产池正好处于均衡状态。此时,该资产池中ETF币和待转板资产的价值正好相等。所以,原创业板流动性代币所对应的价值为2a个ETF币。然而,转到主板后,投入ETF币池的ETF币仅有a个,按照原来的汇率增发主板流动性代币将无法补偿原创业板流动性代币的持有者。所以,我们需要额外增发更多的主板流动性代币用于补偿原创业板流动性代币的持有者。设增发的主板流动性代币数量为X。增发后每1个主板流动性代币的价值为个。根据原创业板流动性代币的持有者利益不受损的原则,得解得显然,这要求U>a 。所以,我们需要增发个主板流动性代币用于替代原创业板流动性代币。转板完成后,每1个主板流动性代币的价值为个ETF币,每1个原创业板流动性代币可替换为个主板流动性代币。